Теорему о предельном переходе в неравенстве можно применять для доказательства математических утверждений следующим образом:

1. Теорема о переходе к пределу в неравенстве. 5 Пусть функции определены в некоторой проколотой окрестности точки, и пусть в этой окрестности выполнено неравенство, а также существуют пределы. 5 Тогда можно применить теорему о предельном переходе в неравенстве к последовательностям и получить нужное неравенство. 5
2. Теорема о предельном переходе в двух неравенствах. 5 Пусть и, и пусть, по крайней мере, начиная с некоторого номера. 5 Тогда последовательность сходится и. 5

Также с помощью этой теоремы можно, например, доказать первый замечательный предел. 15 Например, из геометрических соображений ясно, что площадь кругового сектора больше площади треугольника и меньше площади треугольника. 5 Так как по теореме о предельном переходе в двух неравенствах это следует, то справедлива формула первого замечательного предела. 5