Применение монотонности функций для решения уравнений основано на следующих фактах: 1

• Строго монотонная функция принимает каждое своё значение ровно один раз. 1
• Если одна функция строго возрастает, а другая строго убывает на одном и том же промежутке, то их графики либо пересекутся только один раз, либо не пересекутся вообще. 1 Это означает, что уравнение имеет не более одного решения. 1
• Если на некотором промежутке одна из функций строго убывает (возрастает), а другая принимает постоянные значения, то уравнение имеет либо единственный корень, либо не имеет корней. 1

Пример применения монотонности — решение уравнения x³ = 2 − x. 12 Рассмотрим функции f(x) = x³ и g(x) = 2 − x. 2 Функция f(x) возрастает на всей области определения, а функция g(x) убывает на области определения. 2 Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. 2 Подбором находим, что x = 1. 2 Проверкой убеждаемся, что x = 1 действительно корень уравнения. 2

Применение ограниченности функций при решении уравнений заключается в том, что свойство ограниченности функции снизу или сверху на некотором множестве часто может существенно облегчить поиск решения. 1

Пример: решение уравнения sin (x³ + 2x² + 1) = x² + 2x + 2. 2 Для любого действительного числа х имеем: sin (x³ + 2x² + 1) ≤ 1, x² + 2x + 2 = (x + 1)² + 1 ≥ 1. 2 Поскольку для любого значения х левая часть уравнения не превосходит единицы, а правая часть всегда не меньше единицы, то уравнение может иметь решение только при x = -1. 3