Метод интегрирования по частям позволяет упростить сложные интегралы, разлагая их на более простые части. 1 Он особенно эффективен, когда одна из функций легче интегрируется, а другая — дифференцируется. 1

Алгоритм применения метода: 2

1. Выбрать функции u и dv. 1 Обычно u выбирают в качестве функции, которую проще дифференцировать, а dv — в качестве функции, которую легче интегрировать. 1 Можно использовать правило LIATE, где приоритет отдается логарифмическим, а затем арктангенсным функциям, иррациональным, алгебраическим и экспоненциальным функциям. 1
2. Вычислить du и v. 2 du — производная u, v — интеграл dv. 2
3. Подставить найденные выражения в формулу. 2 Ключевая формула метода: ∫u dv = uv - ∫v du, где u и dv выбираются в зависимости от задачи. 1
4. Упростить новый интеграл. 2 В некоторых случаях может потребоваться применить метод повторно (или даже трижды, зависит от подынтегрального выражения). 2
5. Проверить результат. 2 Это необязательный шаг, но помогает убедиться в правильности расчётов. 2 Нужно вычислить производную и сравнить с подынтегральной функцией. 2

Сложности при применении метода интегрирования по частям могут возникнуть при выборе функций u и dv. 1 Неправильный выбор может привести к более сложным интегралам, которые будет трудно решить. 1 Поэтому важно проявлять терпение и тщательно анализировать каждую задачу. 1