Как применяется теория групп при решении алгебраических уравнений?

Теория групп применяется при решении алгебраических уравнений, в частности для описания симметрии уравнений. ru.wikipedia.org

Например, Галуа обнаружил, что если у уравнения несколько корней, то всегда существует группа перестановок этих корней. ru.wikipedia.org При этом всякая функция, инвариантная относительно подстановок группы, становится рациональной, и, наоборот, всякая рациональная функция от корней оказывается инвариантной относительно перестановок группы. ru.wikipedia.org

Теория групп универсальна и подходит для нахождения корней в радикалах уравнений любой степени. conf.sfu-kras.ru В этом её отличие от методов Кардано и Феррари, которые применяются только для уравнений 3-й и 4-й степеней. conf.sfu-kras.ru

Кроме того, с помощью групп Ли как групп симметрий находятся решения дифференциальных уравнений. ru.wikipedia.org

Теория групп также находит применение в других областях, например в физике и химии: в физике группы используются для описания симметрий, которым подчиняются физические законы, а в химии — для классификации кристаллических решёток и симметрий молекул. ru.wikipedia.org