Как применяется теория групп при решении алгебраических уравнений?

Теория групп применяется при решении алгебраических уравнений, в частности для описания симметрии уравнений. 1

Например, Галуа обнаружил, что если у уравнения несколько корней, то всегда существует группа перестановок этих корней. 1 При этом всякая функция, инвариантная относительно подстановок группы, становится рациональной, и, наоборот, всякая рациональная функция от корней оказывается инвариантной относительно перестановок группы. 1

Теория групп универсальна и подходит для нахождения корней в радикалах уравнений любой степени. 5 В этом её отличие от методов Кардано и Феррари, которые применяются только для уравнений 3-й и 4-й степеней. 5

Кроме того, с помощью групп Ли как групп симметрий находятся решения дифференциальных уравнений. 1

Теория групп также находит применение в других областях, например в физике и химии: в физике группы используются для описания симметрий, которым подчиняются физические законы, а в химии — для классификации кристаллических решёток и симметрий молекул. 1