Как применяется теорема Птолемея в решении задач на вписанные многоугольники?

Теорема Птолемея в решении задач на вписанные многоугольники применяется следующим образом: в любом вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон. urok.1sept.ru en.wikipedia.org

Некоторые примеры применения:

• Задача 1. В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС). urok.1sept.ru На дуге АВ взята произвольная точка К и соединена хордами с вершинами треугольника. urok.1sept.ru Нужно доказать, что АК • КС = АВ2 – КВ2. urok.1sept.ru
• Задача 2. Длины катетов прямоугольного треугольника равны а и в. urok.1sept.ru На его гипотенузе во внешнюю сторону треугольника построен квадрат, одна из сторон которого совпадает с гипотенузой. urok.1sept.ru Нужно найти расстояние от вершины прямого угла треугольника до центра квадрата. urok.1sept.ru
• Задача 3. В равнобочной трапеции основание АD равно диагонали АС. urok.1sept.ru Известно, что САD = СDМ, где М — середина ВС. urok.1sept.ru Нужно найти углы трапеции. urok.1sept.ru
• Задача 4. Вокруг равностороннего треугольника АВС описана окружность радиуса R и на дуге ВС окружности взята точка М так, что дуга ВС делится этой точкой в отношении 1:3, считая от вершины В. urok.1sept.ru Нужно найти расстояние АМ. urok.1sept.ru
• Задача 5. Нужно доказать, что в равнобочной трапеции произведение длин оснований равно разности квадратов диагонали и боковой стороны. urok.1sept.ru