Теорема Коши о вычетах применяется при вычислении интегралов следующим образом: 2

1. Аналитически продолжают интегрируемую вещественную функцию на комплексную плоскость и находят её вычеты (что обычно довольно просто сделать). 2
2. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. 2
3. Затем интеграл по этому контуру вычисляют, используя основную теорему о вычетах. 2
4. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав её правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному. 2

Теорема Коши о вычетах позволяет находить интеграл по замкнутому контуру для комплексной функции как сумму вычетов подинтегральной функции, умноженной на поправочный коэффициент. 3