Метод Лагранжа применяется для решения систем уравнений с ограничениями следующим образом: 15

1. Составляется функция Лагранжа из заданной целевой функции и системы ограничений. 5
2. Определяются аналитические соотношения для поиска безусловного экстремума функции Лагранжа. 5
3. Решается полученная система линейных или нелинейных уравнений, используя соответствующие методы решения. 5
4. Определяется характер экстремума (максимум или минимум целевой функции). 5

Основная идея метода Лагранжа состоит в замене исходной задачи с ограничениями эквивалентной задачей без ограничений. 3 Для этого формируется функция Лагранжа, в которую включаются исходная функция и ограничения, а также вектор дополнительных искомых переменных — множителей Лагранжа. 34

Применение метода Лагранжа широко распространено в разных дисциплинах, например:

• В экономике. 4 Для оптимизации функций полезности или прибыли с ограничениями на доступные ресурсы или затраты, которые необходимо израсходовать. 4
• В физике. 4 Для решения фундаментальных проблем, таких как минимизация энергии в системе при соблюдении законов сохранения. 4
• В инженерии. 4 Для оптимизации проектирования, когда нужно оптимизировать производительность проекта с учётом физических или материальных ограничений. 4
• В машинном обучении. 4 Методы регуляризации в машинном обучении используются с множителями Лагранжа для наложения ограничений на сложность модели. 4