Критерий Коши для определения сходимости последовательностей применяется следующим образом: последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной. 1

Последовательность называют фундаментальной, если для любого ε > 0 существует такой номер Nε ∈ N, что для всех n Nε и для всех p ∈ N справедливо неравенство |xn+p − xn| < ε. 3

Теорема критерия Коши: для того чтобы последовательность имела конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию Коши, то есть была фундаментальной. 3

Пример применения: чтобы доказать сходимость последовательности, нужно показать, что она является фундаментальной, то есть для любого ε > 0 существует номер n0 ∈ N, что для любых n, p > n0 выполняется неравенство |x{n+p}-x{n}| < ε. 1 Если это так, то по критерию Коши последовательность является сходящейся. 1