Как применяется гиперболический показатель степени в математике?

Возможно, имелись в виду гиперболические функции, а не гиперболический показатель степени.

Некоторые области применения гиперболических функций в математике:

• Решение уравнений с параметрами. multiurok.ru С помощью гиперболических функций можно свести сложное уравнение к стандартному квадратному уравнению с параметром. multiurok.ru
• Вычисление интегралов. nsportal.ru Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, просто вычисляются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций. nsportal.ru
• Теория относительности. multiurok.ru
• Проектирование арок. multiurok.ru График гиперболического косинуса (цепная линия) используется при проектировании арок, поскольку форма арки в виде перевёрнутой цепной линии наиболее удачно распределяет нагрузку. multiurok.ru
• Нейронные сети. multiurok.ru Гиперболический тангенс используется в качестве функции активации в нейронных сетях. multiurok.ru
• Сжатие информации. multiurok.ru

Гиперболические функции также встречаются в задачах на теплопроводность и в формулах, связывающих углы и стороны треугольника на плоскости Лобачевского. qna.habr.com