Как применяется формула включений-исключений в комбинаторных задачах?

Формула включений-исключений позволяет определить мощность объединения конечного числа множеств, которые в общем случае могут пересекаться друг с другом. foxford.ru

Принцип применения формулы заключается в попеременном включении и исключении. foxford.ru Сначала включают всё, затем исключают лишнее, потом включают ошибочно исключённое и так далее. foxford.ru

Пример применения: нужно найти число людей, у которых есть хотя бы одна кошка или собака. ru.hexlet.io Известно, что у пяти человек есть кошка, а у восьми — собака, при этом у трёх из них есть и кошка, и собака. ru.hexlet.io Решение: 5 + 8 - 3 = 10 — число людей, у которых есть хотя бы одна кошка или одна собака. ru.hexlet.io

Ещё один пример: нужно узнать, сколько целых чисел от 1 до 100 кратны 2 или 3. ru.hexlet.io Пусть A — множество целых чисел от 1 до 100, кратных 2, тогда |A|=50, а B — множество целых чисел от 1 до 100, кратных 3, тогда |B|=33. ru.hexlet.io Затем находят элементы, которые входят в оба множества: A cap B — это множество целых чисел от 1 до 100, которые кратны 2 и 3. ru.hexlet.io Решение: |A cup B| = |A|+|B|-|Acap B| = 50 + 33 - 16 = 67 — количество чисел от 1 до 100, кратных 2 или 3. ru.hexlet.io