Один из способов применить метод геометрического построения для решения задачи о радиусе вписанной окружности в равносторонний треугольник: 1

1. Из центра вписанной окружности опустить перпендикуляры на любые две соединяющиеся между собой стороны треугольника. 1 Эти перпендикуляры по сути являются радиусами вписанной окружности, поскольку соединяют её центр с касательными в точках выхода того или иного радиуса. 1
2. Соединить центр вписанной окружности с вершиной треугольника, где сходятся две его стороны, к которым опущены радиусы-перпендикуляры. 1
3. Вновь построенные треугольники, образованные перпендикулярами и отрезком, соединяющим центр окружности с вершиной исходного треугольника, однозначно равны между собой. 1 По построению они имеют общую сторону, одинаковые вторые стороны-радиусы и прямой угол. 1
4. Отсюда следует, что эта общая сторона будет биссектрисой для угла исходного треугольника, который по условию его равносторонности равен 60°. 1 Половинка этого угла составит 30°, что говорит о том, что длина построенной биссектрисы равна удвоенной длине радиуса окружности (ибо Sin30° = 0,5). 1
5. Необходимо определить длину третьей стороны свежепостроенного треугольника, которая является частью длины искомой стороны исходного треугольника. 1 Она будет равна длине той самой биссектрисы, умноженной на Cos30°. 1
6. Если провести аналогичные построения для другого угла исходного треугольника — того, что прилегает к его стороне, часть длины которой была вычислена, то окажется, что вновь построенные треугольники, общей стороной которых будет радиус-перпендикуляр, опущенный к искомой стороне исходного треугольника, тоже равны между собой (они прямоугольные, имеют общую сторону и равные углы). 1
7. Из этого следует, что радиус-перпендикуляр делит сторону исходного треугольника ровно пополам. 1 То есть длина всей стороны будет уже 4 * R * Cos30°. 1

Для нахождения радиуса вписанной в равносторонний треугольник окружности также можно использовать формулу: r = a√3/6. 14