Как применить метод геометрического построения для решения задачи о радиусе вписанной окружности в равносторонний треугольник?

Один из способов применить метод геометрического построения для решения задачи о радиусе вписанной окружности в равносторонний треугольник: www.bolshoyvopros.ru

1. Из центра вписанной окружности опустить перпендикуляры на любые две соединяющиеся между собой стороны треугольника. www.bolshoyvopros.ru Эти перпендикуляры по сути являются радиусами вписанной окружности, поскольку соединяют её центр с касательными в точках выхода того или иного радиуса. www.bolshoyvopros.ru
2. Соединить центр вписанной окружности с вершиной треугольника, где сходятся две его стороны, к которым опущены радиусы-перпендикуляры. www.bolshoyvopros.ru
3. Вновь построенные треугольники, образованные перпендикулярами и отрезком, соединяющим центр окружности с вершиной исходного треугольника, однозначно равны между собой. www.bolshoyvopros.ru По построению они имеют общую сторону, одинаковые вторые стороны-радиусы и прямой угол. www.bolshoyvopros.ru
4. Отсюда следует, что эта общая сторона будет биссектрисой для угла исходного треугольника, который по условию его равносторонности равен 60°. www.bolshoyvopros.ru Половинка этого угла составит 30°, что говорит о том, что длина построенной биссектрисы равна удвоенной длине радиуса окружности (ибо Sin30° = 0,5). www.bolshoyvopros.ru
5. Необходимо определить длину третьей стороны свежепостроенного треугольника, которая является частью длины искомой стороны исходного треугольника. www.bolshoyvopros.ru Она будет равна длине той самой биссектрисы, умноженной на Cos30°. www.bolshoyvopros.ru
6. Если провести аналогичные построения для другого угла исходного треугольника — того, что прилегает к его стороне, часть длины которой была вычислена, то окажется, что вновь построенные треугольники, общей стороной которых будет радиус-перпендикуляр, опущенный к искомой стороне исходного треугольника, тоже равны между собой (они прямоугольные, имеют общую сторону и равные углы). www.bolshoyvopros.ru
7. Из этого следует, что радиус-перпендикуляр делит сторону исходного треугольника ровно пополам. www.bolshoyvopros.ru То есть длина всей стороны будет уже 4 * R * Cos30°. www.bolshoyvopros.ru

Для нахождения радиуса вписанной в равносторонний треугольник окружности также можно использовать формулу: r = a√3/6. www.bolshoyvopros.ru ege.sdamgia.ru