Как применить интегральную теорему Лапласа при оценке вероятности отклонения частоты события?

Интегральная теорема Лапласа позволяет найти вероятность того, что в серии из n независимых испытаний расхождение между относительной частотой и теоретической вероятностью будет не больше, чем заранее заданное число. 1

Для применения теоремы необходимо выполнить следующие условия: 1

• Количество испытаний n должно быть достаточно большим. 1 На практике ориентируются на выполнение неравенства npq > 10, в противном случае приближение к точному результату будет плохим. 1
• Вероятность p не должна быть слишком малой. 1

Для вычислений используют функцию Лапласа. 3 Для положительных значений x (0 ≤ x ≤ 5) применяют таблицу значений функции Лапласа. 5 Для значений x > 5 полагают Ф(x) = 0,5. 5 Для отрицательных значений x используют ту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечётная: Ф(-x) = -Ф(x). 5

Пример применения интегральной теоремы Лапласа: нужно найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена не менее 70 раз, если вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,75. 3

Решение: q = 1 − p = 0,25. 3 x1 = √70 − 100 · 0,75 100 · 0,75 · 0,25 ≈ −1,15. 3 x2 = √100 − 100 · 0,75 100 · 0,75 · 0,25 ≈ 5,77. 3 Φ(x1) ≈ Φ(−1,15) ≈ −0,3749. 3 Φ(x2) ≈ Φ(5,77) ≈ 0,5. 3 P100(70, 100) ≈ Φ(x2) − Φ(x1) ≈ 0,5 + 0,3749 ≈ 0,875. 3