Метод замены переменной в тригонометрических уравнениях заключается во введении новой переменной для упрощения уравнения. 1 Например, заменяя sin (x) или cos (x) на t, можно превратить тригонометрическое уравнение в алгебраическое, которое легче решается. 1

Алгоритм решения: 12

1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций. 12
2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t). 12
3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение. 12
4. Сделать обратную замену. 12
5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение. 12

Пример решения: 2

Нужно решить уравнение 2cos2x + 5sinx = 5. 2

Решение: 2

1. Преобразовать уравнение, применив основное тригонометрическое тождество: 2(1 – sin2x) + 5sinx = 5, 2sin2x + 5sinx + 3 = 0. 25
2. Сделать замену sin2x = t, тогда 2t2 + 5t + 3 = 0, t1 = 1, t2 = 3/2. 2
3. Сделать обратную замену. 2 Поскольку -1 < sinx < 1, то корень t2 = 3/2 не подходит. 2
4. Решить простейшее уравнение sinx = 1, x = 2 + 2n, n ∈ Z. 2

При решении тригонометрических уравнений также могут использоваться тригонометрические формулы, например, двойного угла, полусуммы или разности углов. 1