Поток Риччи используется для деформации многообразия, что помогает доказать гипотезу Пуанкаре. 2

Поток Риччи — это определённое уравнение в частных производных, похожее на уравнение теплопроводности. 35 Он позволяет деформировать риманову метрику на многообразии, но в процессе деформации возможно образование «сингулярностей» — точек, в которых кривизна стремится к бесконечности, и деформацию невозможно продолжить. 3

Для доказательства гипотезы Пуанкаре используется модификация потока Риччи — «поток Риччи с хирургией». 3 Процесс включает следующие шаги: 3

1. Классификация сингулярностей в трёхмерном ориентированном случае. 3
2. При подходе к сингулярности поток останавливают и производят «хирургию» — выбрасывают малую связную компоненту или вырезают «шею», а полученные две дырки заклеивают двумя шарами так, что метрика полученного многообразия становится достаточно гладкой. 3
3. Продолжают деформацию вдоль потока Риччи. 3

Классификация сингулярностей позволяет заключить, что каждый «выброшенный кусок» диффеоморфен сферической пространственной форме. 3

Доказательство гипотезы Пуанкаре с использованием потока Риччи было найдено Григорием Перельманом и опубликовано им в трёх статьях на сайте arXiv в 2002–2003 годах. 35