Тип дифференциального уравнения можно определить по его внешнему виду. 2 Некоторые критерии классификации:

По типу неизвестной функции: 1

• Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ). 1 Содержат неизвестную функцию одной переменной и её производные. 1 Пример: y’ + 2y = x. 1
• Дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП). 1 Содержат неизвестную функцию нескольких переменных и её частные производные. 1 Пример: ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 (уравнение Лапласа). 1

По порядку: 1

• Первого порядка. 1 Содержат только первую производную неизвестной функции. 1 Пример: y’ = f(x, y). 1
• Второго порядка. 1 Содержат вторую производную неизвестной функции. 1 Пример: y” + p(x)y’ + q(x)y = g(x). 1
• n-го порядка. 1 Содержат производные до n-го порядка включительно. 1 Общий вид: F(x, y, y’, y”, …, y^(n)) = 0. 1

По виду функции F, входящей в уравнение: 1

• Линейные дифференциальные уравнения. 1 Уравнения, в которых неизвестная функция и её производные входят линейно. 1
• Однородные линейные дифференциальные уравнения. 1 Линейные уравнения, в которых f(x) = 0. 1 Пример: y” + 2y’ - 3y = 0. 1
• Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. 1 Линейные уравнения, в которых f(x) ≠ 0. 1 Пример: y” + 2y’ - 3y = sin(x). 1
• Нелинейные дифференциальные уравнения. 1 Уравнения, в которых неизвестная функция и её производные входят нелинейно (например, в виде произведения, под знаком тригонометрической функции и т. д.). 1 Пример: y’ + y² = x. 1

По наличию особых свойств: 1

• Уравнения с разделяющимися переменными. 1 ОДУ первого порядка, которые можно привести к виду f(y)dy = g(x)dx. 1 Пример: dy/dx = x/y => y dy = x dx. 1
• Однородные уравнения первого порядка. 1 ОДУ первого порядка, которые можно представить в виде y’ = f(y/x). 1 Пример: y’ = (x² + y²) / (xy). 1
• Уравнения в полных дифференциалах. 1 ОДУ вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, для которых выполняется условие ∂P/∂y = ∂Q/∂x. 1
• Уравнения Бернулли. 1 ОДУ вида y’ + p(x)y = q(x)yⁿ, где n ≠ 0, 1. 1
• Уравнения Риккати. 1 ОДУ вида y’ = p(x) + q(x)y + r(x)y². 1

Понимание типа дифференциального уравнения помогает выбрать наиболее подходящий метод для его решения. 1