Область значений функции в алгебре — это множество всех значений функции (переменной y), полученных при переборе всех значений переменной x из области определения. 1

Принято обозначение области значений: E (f). 1 В графическом изображении область значений — проекция графика функции на ось ординат. 1

Нахождение области значений осуществляется двумя способами: 1

1. Графический способ. 1 Чаще всего его используют для функций с достаточно простой зависимостью. 1 Алгоритм нахождения области значений по графику: 1

• Найти область определения функции. 1 Например, у показательной функции или параболы аргумент может принимать любое значение из множества действительных чисел R, то есть E(f)=R. 1
• Построить график функции по точкам. 1
• По графику функции найти её минимум. 1 Значение y{min} будет являться нижней границей области значений. 1 Если минимум невозможно определить визуально, то есть функция не имеет минимума, границей будет -∞. 1 Аналогично определяется максимум y{max} и, соответственно, верхняя граница области значений. 1 Если максимум не определяется, границей области значения является +∞. 1
• Записать область значений функции, при этом необходимо учесть точки разрыва, если они есть. 1 Область значений записывают в виде числового промежутка. 1 Границы, входящие в область, заключают в квадратные скобки, не входящие — в круглые. 1 Если область значений включает в себя несколько числовых промежутков, их объединяют знаком «U», например: (-∞; 4]U[6; +∞). 1

1. Аналитический способ (по уравнению). 1 Нахождение области значений функции по заданному уравнению сводится к вычислению экстремумов. 1 Алгоритм поиска области значений для функции, непрерывной на некотором заданном отрезке: 1

• Найти производную функции. 1
• Приравнять производную к нулю, найти корни уравнения f′(x)=0 и точки, в которых производная не существует — критические точки. 1
• Отметить корни, критические точки и границы заданного интервала на прямой и определить знаки производной на каждом получившемся промежутке. 1
• Найти минимумы и максимумы функции. 1 Если в некоторой точке x1 производная меняет знак с «+» на «-», то точка x1 — максимум, если с «-» на «+» — минимум. 1
• Подставляя значения аргументов для минимума и максимума функции в выражение f(x), найти минимальное и максимальное значения функции. 1
• Записать область значений функции. 1

Для нахождения области значений функции, которая не является непрерывной, нужно разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. 3