Как определяется объем тела вращения при решении геометрических задач?

Объём тела вращения — это объём пространства, занимаемого телом, полученным в результате вращения некоторой плоской фигуры вокруг оси. edu4cash.ru

Для вычисления объёма тела вращения используют формулу интеграла: V = ∫π |* (f(x))² dx, где: edu4cash.ru dzen.ru

• V — объём тела; edu4cash.ru
• f(x) — функция, задающая форму тела; edu4cash.ru
• a и b — пределы интегрирования, соответствующие границам области, которую описывает тело вращения. edu4cash.ru

Формула основана на принципе Кавальери, который утверждает, что объёмы двух тел с одинаковыми высотами и равными площадями оснований равны. edu4cash.ru

Некоторые примеры тел вращения и формулы для вычисления их объёма:

• Цилиндр. edu4cash.ru Тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. edu4cash.ru Объём цилиндра вычисляется по формуле: V = π r² h, где r — радиус основания, h — высота цилиндра. edu4cash.ru
• Конус. edu4cash.ru Тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. edu4cash.ru Объём конуса вычисляется по формуле: V = ⅓ π r² |* h, где r — радиус основания, h — высота конуса. edu4cash.ru
• Шар. edu4cash.ru Тело, образованное вращением полукруга вокруг диаметра. edu4cash.ru Объём шара вычисляется по формуле: V = (4/3) π R³, где R — радиус шара. edu4cash.ru
• Тор. edu4cash.ru Тело, образованное вращением окружности вокруг прямой, не пересекающей эту окружность. edu4cash.ru Объём тора вычисляется по формуле: V = 2 π² R² |* r, где R — радиус окружности, r — расстояние от центра окружности до оси вращения. edu4cash.ru
• Параболоид вращения. edu4cash.ru Тело, образованное вращением параболы вокруг своей оси симметрии. edu4cash.ru Объём параболоида вращения вычисляется по более сложной формуле, которая зависит от конкретной формы параболы. edu4cash.ru