Определитель матрицы применяется в аналитической геометрии для решения задач в векторной алгебре и при решении систем линейных уравнений. 1

Это связано с тем, что некоторые формулы векторной алгебры, записанные через определители, имеют достаточно компактный вид и удобны как при изложении теории, так и при решении задач. 1

Например, с помощью свойств определителей можно, не раскрывая их, доказать справедливость равенств или найти значение определителя, оперируя лишь одними свойствами. 1 Это позволяет в некоторых случаях вычислять определители любого порядка, не производя громоздкие расчёты. 1

Также в аналитической геометрии используется правило Крамера: если определитель матрицы коэффициентов системы уравнений отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера. 2 Если же определитель равен нулю, а хотя бы один из определителей отличен от нуля, то система не имеет решений (несовместна). 2