Как определить, является ли функция непрерывной на всем отрезке?

Чтобы определить, является ли функция непрерывной на всём отрезке, нужно проверить выполнение нескольких условий: 1

1. Непрерывность во внутренних точках отрезка. 1 Функция непрерывна на отрезке [a, b], если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка. 1
2. Односторонняя непрерывность в граничных точках. 2 Функция непрерывна в точке a справа и в точке b — слева. 2

Также есть некоторые свойства непрерывных функций, которые могут помочь в определении непрерывности:

• Теорема о промежуточных значениях. 3 Если функция непрерывна на отрезке [a, b] и f(a) = A, f(b) = B, то для любого числа C, заключённого между A и B, найдётся внутри этого отрезка такая точка C, что f(c) = C. 3
• Теорема о наибольшем и наименьшем значениях. 3 Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то найдётся хотя бы одна точка, в которой значение функции будет самым большим из всех её значений на этом отрезке, и такая, в которой значение функции будет самым маленьким. 3
• Теорема о том, что непрерывная функция принимает все промежуточные значения. 1 Если непрерывная на интервале функция принимает на концах интервала значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю. 1