Как определить сходимость ряда с помощью признаков сравнения?

Чтобы определить сходимость ряда с помощью признаков сравнения, нужно сравнить исследуемый ряд с другим рядом, сходимость или расходимость которого известна. 12

Алгоритм применения признака сравнения: 1

1. Определить характер поведения членов ряда при больших n. 1 Это поможет выбрать подходящий ряд для сравнения. 1
2. Подобрать ряд для сравнения с известной сходимостью или расходимостью. 1 Обычно используют, например, обобщённый гармонический ряд (сходится при p > 1, расходится при p ≤ 1) или геометрический ряд (сходится при |q| < 1, расходится при |q| ≥ 1). 12
3. Применить признак сравнения: 1

• Предельный признак. 1 Найти предел (an / bn). 1 Если предел конечный и отличен от нуля, ряды ведут себя одинаково. 1
• Прямой признак. 1 Найти неравенство между an и bn. 1 Убедиться, что неравенство выполняется для всех достаточно больших n. 1 Затем сделать вывод о сходимости или расходимости ряда ∑ an. 1

1. Сделать вывод. 1 На основании сходимости или расходимости ряда ∑ bn и результата применения признака сравнения сделать вывод о сходимости или расходимости ряда ∑ an. 1

Важно учитывать, что признаки сравнения работают только для рядов с положительными членами. 1 Для рядов с членами произвольного знака используются другие признаки. 1

Если признак сравнения не даёт результата, можно попробовать использовать другие признаки сходимости (например, признак Даламбера, признак Коши). 1