Как определить сходимость последовательности на практике?

Для определения сходимости последовательности на практике можно использовать следующие методы:

1. Метод предела. 2 Если найти предел последовательности и показать, что он существует и конечен, то это свидетельствует о сходимости. 2 Например, если предел последовательности стремится к нулю, то это говорит о её сходимости. 2
2. Метод ограниченности. 2 Если показать, что последовательность ограничена сверху или снизу, то это может указывать на её сходимость. 2 Например, если последовательность не превышает некоторую константу при всех значениях, то она, скорее всего, сходится. 2
3. Метод монотонности. 2 Если последовательность монотонна (например, возрастает или убывает) и ограничена, то она сходится. 2 Можно использовать методы математической индукции или доказательства по определению монотонности для проверки этого свойства. 2
4. Метод сравнения. 2 Если найти другую последовательность, сходящуюся или расходящуюся, и показать, что исследуемая последовательность подобным образом ведёт себя, то можно сделать вывод о сходимости или расходимости. 2 Например, если исследуемый ряд неотрицательных чисел больше, чем сходящийся ряд, то он будет расходиться. 2
5. Метод Коши (критерий Коши). 25 Если показать, что разность между членами последовательности может быть сделана произвольно малой (с точностью до некоторого положительного числа), то это говорит о сходимости. 2 Это требует более технических доказательств и может быть применимо для некоторых последовательностей. 2

Конкретный выбор метода зависит от характеристик исследуемой последовательности. 2