Как определить площадь круга, используя метод Архимеда?
Метод Архимеда для определения площади круга заключается в сравнении площади круга с площадью прямоугольного треугольника, основание которого равно длине окружности, а высота равна радиусу. 12
Алгоритм действий: 1
- Если площадь круга не равна площади треугольника, она должна быть меньше или больше. 12
- Нужно исключить оба варианта, что оставит только одну возможность — площади равны. 1
Для доказательства используют правильные многоугольники. 12
Пример: предположим, что площадь круга больше площади треугольника. 1 Тогда нужно вписать квадрат в окружность так, чтобы все его четыре угла лежали на окружности. 1 Между квадратом и окружностью будет четыре сегмента. 1 Если их общая площадь больше предполагаемого превышения, нужно разделить каждую дугу пополам. 1 Это превратит вписанный квадрат в восьмиугольник и образует восемь сегментов с меньшим общим зазором. 1
- Нужно продолжать деление, пока общий зазор не станет меньше предполагаемого превышения. 1
В итоге площадь вписанного многоугольника должна быть больше площади треугольника. 1
Архимед доказал, что площадь круга равна половине произведения длины окружности на её радиус. 3
