Чтобы определить область значений функции с помощью дифференцирования, нужно: 1

1. Оценить область определения функции, то есть определить те значения, которые может принимать аргумент x. 1
2. Найти производную функции. 12
3. Приравнять производную к нулю, найти корни уравнения f′(x)=0 и точки, в которых производная не существует — критические точки. 2
4. Отметить корни, критические точки и границы заданного интервала на прямой и определить знаки производной на каждом получившемся промежутке. 2
5. Найти минимумы и максимумы функции. 2 Если в некоторой точке x1 производная меняет знак с «+» на «-», то точка x1 — максимум, если с «-» на «+» — минимум. 2
6. Подставить значения аргументов для минимума и максимума функции в выражение f(x), найти минимальное и максимальное значения функции. 2
7. В том случае, если имеются точки, в которых производная не существует, значение функции вычислить через пределы. 2
8. Записать область значений функции. 2

Пример: 1 дана функция f(x)=√(16-x^2). 1 Сначала определяем, какие значения может принимать x для существования функции. 1 При значении x^2>16 под корнем получается отрицательное число, а это значит, что область определения функции — от [-4;4] включительно. 1 Теперь находим производную функции: (√(16-x^2))’=-x/(√(16-x^2)). 1 Если в знаменателе производной нуль, то производной не существует, в данном случае это условие выполняется при x=±4. 1 Приравниваем производную к нулю и находим значения x. 1 Производная данной функции принимает нулевое значение при x=0. 1 Теперь подставляем найденные значения производной в функцию и получаем, что наименьшее значение функции — это f(4) и f(-4), при этих значениях функция равна нулю, а наибольшее значение f(x) — при x=0, в этой точке функция равна 16. 1