Чтобы определить область значений функции через её график, нужно: 1

1. Найти область определения функции. 1 Например, у показательной функции или параболы аргумент может принимать любое значение из множества действительных чисел R. 1
2. Построить график функции по точкам. 1
3. По графику функции найти её минимум. 1 Значение y_{min} будет являться нижней границей области значений. 1 Если минимум невозможно определить визуально, то есть функция не имеет минимума, границей будет -∞. 1
4. Аналогично определить максимум y_{max} и, соответственно, верхнюю границу области значений. 1 Если максимум не определяется, границей области значения является +∞. 1
5. Записать область значений функции, при этом необходимо учесть точки разрыва, если они есть. 1 Область значений записывают в виде числового промежутка. 1 Границы, входящие в область, заключают в квадратные скобки, не входящие — в круглые. 1 Если область значений включает в себя несколько числовых промежутков, их объединяют знаком «U», например: (-∞; 4]U[6; +∞). 1

Чтобы определить область значений функции через производную, нужно: 2

1. Найти производную функции. 12
2. Приравнять производную к нулю, найти корни уравнения f′(x)=0 и точки, в которых производная не существует — критические точки. 1
3. Отметить корни, критические точки и границы заданного интервала на прямой и определить знаки производной на каждом получившемся промежутке. 1
4. Найти минимумы и максимумы функции. 1 Если в некоторой точке x1 производная меняет знак с «+» на «-», то точка x1 — максимум, если с «-» на «+» — минимум. 1
5. Подставляя значения аргументов для минимума и максимума функции в выражение f(x), найти минимальное и максимальное значения функции. 1
6. В том случае, если имеются точки, в которых производная не существует, значение функции вычисляют через пределы. 1
7. Записывают область значений функции. 1

Область значений записывают в виде числового промежутка. 1 Границы, входящие в область, заключают в квадратные скобки, не входящие — в круглые. 1 Если область значений включает в себя несколько числовых промежутков, их объединяют знаком «U», например: (-∞; 4]U[6; +∞). 1