Как определить область значений для разных типов функций?

Область значений функции — это множество всех значений функции (переменной y), полученных при переборе всех значений переменной x из области определения. wika.tutoronline.ru

Нахождение области значений для разных типов функций можно осуществлять графически или аналитически (по уравнению). wika.tutoronline.ru

Алгоритм нахождения области значений функции по графику: wika.tutoronline.ru

1. Найти область определения функции. wika.tutoronline.ru Например, у показательной функции или параболы аргумент может принимать любое значение из множества действительных чисел R. wika.tutoronline.ru Если выражение f(x) является дробным, область определения находится из условия неравенства нулю знаменателя. wika.tutoronline.ru Если выражение f(x) находится под квадратным корнем, область определения можно узнать из неравенства f(x)≥0. wika.tutoronline.ru
2. Построить график функции по точкам. wika.tutoronline.ru Можно воспользоваться графическим калькулятором или специальным программным обеспечением. ru.wikihow.com
3. Найти минимум функции. wika.tutoronline.ru Значение y_{min} будет являться нижней границей области значений. wika.tutoronline.ru Если минимум невозможно определить визуально, то есть функция не имеет минимума, границей будет -∞. wika.tutoronline.ru
4. Определить максимум функции. wika.tutoronline.ru Аналогично определить верхнюю границу области значений. wika.tutoronline.ru Если максимум не определяется, границей области значения является +∞. wika.tutoronline.ru
5. Записать область значений функции, при этом необходимо учесть точки разрыва, если они есть. wika.tutoronline.ru

Алгоритм нахождения области значений функции по уравнению: wika.tutoronline.ru

1. Найти производную функции. wika.tutoronline.ru
2. Приравнять производную к нулю, найти корни уравнения f′(x)=0 и точки, в которых производная не существует — критические точки. wika.tutoronline.ru
3. Отметить корни, критические точки и границы заданного интервала на прямой и определить знаки производной на каждом получившемся промежутке. wika.tutoronline.ru
4. Найти минимумы и максимумы функции. wika.tutoronline.ru Если в некоторой точке x1 производная меняет знак с «+» на «-», то точка x1 — максимум, если с «-» на «+» — минимум. wika.tutoronline.ru
5. Подставить значения аргументов для минимума и максимума функции в выражение f(x), найти минимальное и максимальное значения функции. wika.tutoronline.ru
6. Записать область значений функции. wika.tutoronline.ru

Для некоторых типов функций есть определённые области значений, например, для синуса и косинуса — это [-1, 1], а для касательной — все действительные числа, за исключением случаев, когда функция не определена. www.geeksforgeeks.org