Область значений функции — это множество всех значений функции (переменной y), полученных при переборе всех значений переменной x из области определения. 3

Нахождение области значений для разных типов функций можно осуществлять графически или аналитически (по уравнению). 3

Алгоритм нахождения области значений функции по графику: 3

1. Найти область определения функции. 3 Например, у показательной функции или параболы аргумент может принимать любое значение из множества действительных чисел R. 3 Если выражение f(x) является дробным, область определения находится из условия неравенства нулю знаменателя. 3 Если выражение f(x) находится под квадратным корнем, область определения можно узнать из неравенства f(x)≥0. 3
2. Построить график функции по точкам. 3 Можно воспользоваться графическим калькулятором или специальным программным обеспечением. 2
3. Найти минимум функции. 3 Значение y_{min} будет являться нижней границей области значений. 3 Если минимум невозможно определить визуально, то есть функция не имеет минимума, границей будет -∞. 3
4. Определить максимум функции. 3 Аналогично определить верхнюю границу области значений. 3 Если максимум не определяется, границей области значения является +∞. 3
5. Записать область значений функции, при этом необходимо учесть точки разрыва, если они есть. 3

Алгоритм нахождения области значений функции по уравнению: 3

1. Найти производную функции. 3
2. Приравнять производную к нулю, найти корни уравнения f′(x)=0 и точки, в которых производная не существует — критические точки. 3
3. Отметить корни, критические точки и границы заданного интервала на прямой и определить знаки производной на каждом получившемся промежутке. 3
4. Найти минимумы и максимумы функции. 3 Если в некоторой точке x1 производная меняет знак с «+» на «-», то точка x1 — максимум, если с «-» на «+» — минимум. 3
5. Подставить значения аргументов для минимума и максимума функции в выражение f(x), найти минимальное и максимальное значения функции. 3
6. Записать область значений функции. 3

Для некоторых типов функций есть определённые области значений, например, для синуса и косинуса — это [-1, 1], а для касательной — все действительные числа, за исключением случаев, когда функция не определена. 1