Определённый интеграл применяется для расчёта длин дуг и объёмов фигур следующим образом:

1. Длина дуги кривой. 12 Если на отрезке [α, β] кривая задана уравнением ρ = ρ(ϕ) в полярной системе координат, то длина её дуги вычисляется с помощью определённого интеграла по формуле L = ∫ от α до β √(ρ²(ϕ) + ρ’²(ϕ)) · dϕ. 12 Если на отрезке [a, b] кривая задана уравнением y = y(x), то длина её дуги вычисляется по формуле L = ∫ от a до b √(1 + y’²(x)) · dx. 12 Если на отрезке [α, β] кривая задана параметрически, то есть x = x(t), y = y(t), то длина её дуги вычисляется по формуле L = ∫ от α до β √(x’²(t) + y’²(t)) · dt. 12
2. Объём тела по площадям параллельных сечений. 12 Если необходимо найти объём пространственного тела, координаты точек которого удовлетворяют условиям a ≤ x ≤ b, и для которого известны площади сечений S(x) плоскостями, перпендикулярными оси Ox, то формула для вычисления объёма такого тела имеет вид V = ∫ от a до b S(x) · dx. 12
3. Объём тела вращения. 12 Если на отрезке [a, b] задана неотрицательная непрерывная функция y = y(x), образующая криволинейную трапецию, то объём тела вращения является частным случаем вычисления объёма тела по известным площадям его параллельных сечений. 1 Соответствующая формула имеет вид V = ∫ от a до b S(x) · dx = π · ∫ от a до b y²(x) · dx. 12