Как обобщается функция signum на комплексные числа?

Одно из возможных обобщений функции signum на множество комплексных чисел выглядит так: sgn ⁡ z = { z | z |, z ≠ 0 0, z = 0. 23

Смысл такого обобщения — показать направление на комплексной плоскости, отвечающее числу z, с помощью радиус-вектора единичной длины. 25 Это же направление в полярных координатах задаёт угол φ, где φ = Arg ⁡ z — аргумент комплексного числа z. 25

При z ≠ 0 результатом функции signum z является точка единичной окружности, ближайшая к числу z. 25 Неопределённое направление, отвечающее числу z = 0, выражается нулевым значением функции. 25

Существует и другой вариант обобщения функции, обозначаемый как csgn и определяемый так: csgn ⁡ ( z) = { 1, Re ⁡ z > 0 − 1, Re ⁡ z < 0 sgn ⁡ Im ⁡ z, Re ⁡ z = 0. 23