Чтобы найти точку минимума функции по уравнению, необходимо: 15

1. Найти производную функции f′(x). 15
2. Найти стационарные точки, решив уравнение f′(x)=0. 1
3. Разложить производную функции на множители. 1
4. Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах. 1
5. Найти точку минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с минуса на плюс, то это будет точка минимума. 1

Алгоритм исследования непрерывной функции y=f(x) на монотонность и экстремумы: 4

1. Найти производную f′(x). 4
2. Определить критические точки, в которых f′(x)=0 или же производная не существует (и которые принадлежат области определения функции). 4
3. Нанести критические точки на числовую прямую и определить знаки производной на каждом промежутке. 4
4. Опираясь на теоремы, определить промежутки монотонности функции и точки экстремума функции. 4

Пример нахождения точки минимума функции y=2x−ln⁡(x+11)+4: 1

1. Найдём ОДЗ функции: х+11>0;х>−11. 1
2. Найдём производную функции y′=2−1x+11=2x+22−1x+11=2x+21x+11. 1
3. Найдём стационарные точки, приравняв производную к нулю: 2x+21x+11=0. 1 Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: 2x+21=0;x≠−11; 2х=−21; х=−10,5. 1
4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. 1 Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль: y′(0)=2∙0+210+11=2111>0. 1
5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка −10,5 — это точка минимума. 1 Ответ: −10,5. 1