Как найти решение уравнения с переменными коэффициентами?

Для нахождения решения уравнения с переменными коэффициентами можно использовать следующие подходы:

1. Если коэффициенты уравнения непрерывны, то с помощью подстановки можно получить уравнение, не содержащее члена с первой производной. 1
2. Если известно одно не нулевое частное решение уравнения, то второе линейно независимое частное решение можно найти по формуле Лиувилля. 1
3. Для линейных уравнений второго порядка универсальным методом нахождения решения является отыскание решения в виде степенных или обобщённых степенных рядов. 1
4. Сначала находят общее решение однородного уравнения, а затем методом вариации постоянных — частное решение неоднородного уравнения. 2 Общее решение исходного неоднородного уравнения будет суммой общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. 2

Также для нахождения общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами выполняют следующее: 5

1. Подбором находят линейно независимые частные решения соответствующего однородного уравнения. 5
2. С помощью формулы Лиувилля — Остроградского получают общее решение однородного уравнения. 5
3. Методом Лагранжа вариаций произвольных постоянных определяют общее решение неоднородного уравнения. 5

Поиск общего решения уравнения с переменными коэффициентами может быть довольно трудным, и решение такого уравнения не всегда можно найти. 2