Как можно преобразовать координаты вектора при замене базиса в линейном пространстве?

Чтобы преобразовать координаты вектора при замене базиса в линейном пространстве, используют матрицу перехода. 12 Она состоит из координат векторов нового базиса в старом, записанных по столбцам. 1

Чтобы получить координаты вектора в старом базисе, необходимо столбец координат этого вектора в новом базисе умножить слева на матрицу перехода из старого базиса в новый. 2

Чтобы выразить старые координаты вектора через новые, нужно столбец координат вектора в новом базисе умножить на матрицу перехода. 3

Например, если Х — координаты вектора в старом базисе, а Х′ — координаты того же вектора в новом базисе, то новые координаты Х′ можно найти по формуле: Х′ = (матрица перехода)−1 ∙ Х. 1