Чтобы оптимизировать расчёт суммы последовательных чисел с помощью арифметической прогрессии, можно использовать формулы, в которых присутствуют только первый член прогрессии и её разность. 1

Обычно для вычисления суммы нужно найти все нужные члены последовательности и сложить их. 1 Такой подход требует значительного времени и становится неэффективным при большом количестве членов арифметической прогрессии. 1

Есть формула для нахождения суммы последовательных членов арифметической прогрессии с k-го по n-й включительно (где k < n): 1

S = (ak + an) ⋅ (n − k + 1) / 2. 1

Также есть формула для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии, в зависимости от того, известен ли последний член последовательности: 4

• Если известен последний член прогрессии, то сумму первых n членов Sn можно вычислить по формуле: Sn = (n / 2) (a1 + an). 4
• Если последний член последовательности неизвестен, то формула будет другой: Sn = (n / 2) (2 × a1 + (n − 1) × d). 4