Для определения максимального значения функции на окружности можно использовать метод нахождения критических точек. 15 Для этого нужно приравнять производную функции к нулю и решить полученное уравнение, чтобы найти точки, в которых производная обращается в нуль (критические точки). 45

Например, если дана окружность радиусом R с центром в начале координат, то каждая точка на окружности будет удовлетворять уравнению x² + y² = R². 1 Тогда на окружности C(R) функция x²y станет R³ cos² θ sin θ, значения x и y масштабируются с помощью R, но максимумы и минимумы возникают для одних и тех же значений θ. 1

Также для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке можно воспользоваться следующим алгоритмом: 4

1. Найти область определения функции и проверить, входит ли в неё заданный отрезок. 4
2. Найти производную функции. 4
3. Приравнять производную к нулю и найти точки, в которых она обращается в нуль (решить уравнение). 4
4. Выбрать из корней уравнения те точки, которые попадают в заданный промежуток, и вычислить значение функции в них. 4
5. Взять точки начала и конца отрезка и найти значение функции в них. 4
6. Сделать вывод о наибольшем и наименьшем значении функции. 4