Использование алгоритма Гаусса для решения системы линейных уравнений включает два этапа: 1

1. Прямой ход. 1 Записывают расширенную матрицу системы, для этого в главную матрицу добавляют столбец свободных членов. 1 Затем путём элементарных преобразований приводят матрицу к ступенчатому (или треугольному) виду, в котором под (или над) главной диагональю матрицы должны быть одни нули. 1 Для этого можно, например:

• переставлять строки матрицы местами; 1
• если в матрице есть одинаковые (или пропорциональные) строки, удалить их все, кроме одной; 1
• умножать или делить строку на любое число (кроме нуля); 1
• удалять нулевые строки; 1
• прибавлять к строке строку, умноженную на число, отличное от нуля. 1

1. Обратный ход. 15 После преобразования системы одна неизвестная становится известна, и можно в обратном порядке найти все оставшиеся неизвестные, подставляя уже известные значения в уравнения системы, вплоть до первого. 1

В конце процедуры метода Гаусса проверяют совместность системы и однозначность её решения. 5 Система считается совместной, если матрица коэффициентов невырожденная (её определитель не равен нулю), и несовместной в противном случае. 5