Как можно доказать параллельность двух прямых, используя признаки параллельности?

Доказать параллельность двух прямых можно, используя три признака параллельности: resh.edu.ru

1. Первый признак: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. budu5.com resh.edu.ru
2. Второй признак: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. budu5.com resh.edu.ru
3. Третий признак: если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. resh.edu.ru

Пример доказательства первого признака:

Пусть прямые a и b образуют с секущей c равные накрест лежащие углы. foxford.ru Допустим, прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке C. foxford.ru Секущая c разбивает плоскость на две полуплоскости. foxford.ru В одной из них лежит точка C. foxford.ru Пусть секущая c пересекает прямую a в точке A, а прямую b — в точке B. foxford.ru Построим треугольник BAC1, равный треугольнику ABC, с вершиной C1 в другой полуплоскости. foxford.ru Так как соответствующие углы треугольников ABC и BAC1 с вершинами A и B равны, то, по аксиоме откладывания углов, они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. foxford.ru Значит, прямая AC1 совпадает с прямой a, а прямая BC1 совпадает с прямой b. foxford.ru Следовательно, через точки C и C1 проходят две различные прямые a и b, что противоречит аксиоме принадлежности точек и прямых. foxford.ru Значит, прямые a и b параллельны. foxford.ru

Ещё один пример доказательства второго признака:

Пусть прямые a и b образуют с секущей c равные соответственные углы: угол 1 = угол 2. foxford.ru Так как углы 1 и 3 являются вертикальными, то они равны. foxford.ru Значит, угол 2 тоже равен углу 3. foxford.ru Но углы 2 и 3 — накрест лежащие для прямых a и b и секущей c. foxford.ru По теореме 1 прямые a и b параллельны. foxford.ru

Доказательство третьего признака:

Пусть прямые a и b образуют с секущей c односторонние углы: угол 1 + угол 2 = 180°. foxford.ru Так как углы 1 и 3 являются смежными, то они равны 180°. foxford.ru Значит, угол 3 дополняет угол 1 до 180°, и угол 2 дополняет угол 1 до 180°. foxford.ru Значит, угол 3 = угол 2. foxford.ru Углы 3 и 2 являются накрест лежащими для прямых a и b и секущей c. foxford.ru

Пользователь

Время добавления