Доказать параллельность двух прямых можно, используя три признака параллельности: 3

1. Первый признак: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 13
2. Второй признак: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 13
3. Третий признак: если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. 3

Пример доказательства первого признака:

Пусть прямые a и b образуют с секущей c равные накрест лежащие углы. 2 Допустим, прямые a и b не параллельны, а значит, пересекаются в некоторой точке C. 2 Секущая c разбивает плоскость на две полуплоскости. 2 В одной из них лежит точка C. 2 Пусть секущая c пересекает прямую a в точке A, а прямую b — в точке B. 2 Построим треугольник BAC1, равный треугольнику ABC, с вершиной C1 в другой полуплоскости. 2 Так как соответствующие углы треугольников ABC и BAC1 с вершинами A и B равны, то, по аксиоме откладывания углов, они совпадают с внутренними накрест лежащими углами. 2 Значит, прямая AC1 совпадает с прямой a, а прямая BC1 совпадает с прямой b. 2 Следовательно, через точки C и C1 проходят две различные прямые a и b, что противоречит аксиоме принадлежности точек и прямых. 2 Значит, прямые a и b параллельны. 2

Ещё один пример доказательства второго признака:

Пусть прямые a и b образуют с секущей c равные соответственные углы: угол 1 = угол 2. 2 Так как углы 1 и 3 являются вертикальными, то они равны. 2 Значит, угол 2 тоже равен углу 3. 2 Но углы 2 и 3 — накрест лежащие для прямых a и b и секущей c. 2 По теореме 1 прямые a и b параллельны. 2

Доказательство третьего признака:

Пусть прямые a и b образуют с секущей c односторонние углы: угол 1 + угол 2 = 180°. 2 Так как углы 1 и 3 являются смежными, то они равны 180°. 2 Значит, угол 3 дополняет угол 1 до 180°, и угол 2 дополняет угол 1 до 180°. 2 Значит, угол 3 = угол 2. 2 Углы 3 и 2 являются накрест лежащими для прямых a и b и секущей c. 2