Как можно доказать формулу Герона, используя только длины сторон треугольника?

Доказательство формулы Герона, используя только длины сторон треугольника, включает следующие шаги: www.banki.ru

1. Выражение высоты через стороны треугольника. www.banki.ru Рассмотрим произвольный треугольник со сторонами a, b, c. www.banki.ru Известно, что его площадь можно вычислить как S = (1/2) × основание × высоту. www.banki.ru Нужно выразить высоту через известные стороны. www.banki.ru

2. Обозначим полупериметр треугольника: p = (a + b + c) / 2. www.banki.ru ecalc.ru Пусть BC = a — основание треугольника, а h — высота, проведённая к этой стороне. www.banki.ru Разделим треугольник на два прямоугольных треугольника. www.banki.ru Используем теорему Пифагора для нахождения высоты h через стороны a, b, c. www.banki.ru После преобразований получаем: h² = (p - a)(p - b)(p - c) / p. www.banki.ru Извлекая корень, получаем: h = √((p - a)(p - b)(p - c) / p). www.banki.ru

3. Вывод окончательной формулы. www.banki.ru Подставим найденное значение h в формулу площади: S = (1/2) × a × h. www.banki.ru После преобразований получаем окончательный вид: S = √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c)). www.banki.ru Формула Герона доказана. www.banki.ru