Единственность прямой, перпендикулярной плоскости, через точку пространства, можно доказать методом от противного. 12

Пример доказательства: 1

1. Пусть К — произвольная точка в пространстве, не лежащая в плоскости α. 1
2. Проведём произвольную прямую р в плоскости α. 1
3. Так как через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, через точку К проведём плоскость β так, что плоскость β перпендикулярна прямой р. 1
4. Плоскости пересекаются по прямой, обозначим линию пересечения плоскостей α и β как прямую m. 1
5. В плоскости β проведём перпендикуляр n к прямой m, n проходит через точку К. 1
6. Прямая р⊥β ⇒ р перпендикулярна любой прямой, лежащей в β ⇒ n⊥p. 1
7. n⊥m по построению и n⊥p в соответствии с пунктом 5 доказательства. 1
8. m∈α и p∈α, при этом прямые m и p пересекаются, то есть n перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости. 1
9. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости n⊥α. 1
10. Докажем, что прямая n⊥α — единственная перпендикулярная α прямая, проходящая через К. 1
11. Допустим, что прямая , не совпадающая с n, проходит через точку К. 1 Прямые n и пересекаются в точке К. 1
12. Получаем противоречие, n не может быть параллельна , так как n и пересекаются в точке К по построению. 1
13. Следовательно, прямая, проходящая через точку К и перпендикулярная плоскости α, только одна. 1

Таким образом, через любую точку пространства проходит только одна прямая, перпендикулярная данной плоскости. 1