Доказательство, что прямая, проведённая через основание наклонной и перпендикулярная её проекции на плоскость, перпендикулярна и самой наклонной, можно провести на основе теоремы о трёх перпендикулярах. 23

Пример доказательства: 2

1. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости α, АС — наклонная, а с — прямая в плоскости α, проходящая через основание наклонной С. 2
2. Проведём прямую СК параллельно прямой АВ. 2
3. Прямая СК перпендикулярна плоскости α (так как она параллельна АВ), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с. 2
4. Проведём через параллельные прямые АВ и СК плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). 2
5. Прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости β (это ВС по условию и СК по построению), значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой АС. 2

Таким образом, наклонная АС перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости α. 1