Как можно доказать, что прямая, проходящая через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции на плоскость?

Доказательство, что прямая, проведённая через основание наклонной и перпендикулярная её проекции на плоскость, перпендикулярна и самой наклонной, можно провести на основе теоремы о трёх перпендикулярах. ru.ruwiki.ru ru.wikipedia.org

Пример доказательства: ru.ruwiki.ru

1. Пусть АВ — перпендикуляр к плоскости α, АС — наклонная, а с — прямая в плоскости α, проходящая через основание наклонной С. ru.ruwiki.ru
2. Проведём прямую СК параллельно прямой АВ. ru.ruwiki.ru
3. Прямая СК перпендикулярна плоскости α (так как она параллельна АВ), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, СК перпендикулярна прямой с. ru.ruwiki.ru
4. Проведём через параллельные прямые АВ и СК плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причём только одну). ru.ruwiki.ru
5. Прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости β (это ВС по условию и СК по построению), значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой АС. ru.ruwiki.ru

Таким образом, наклонная АС перпендикулярна прямой с, лежащей в плоскости α. otvet.mail.ru