В евклидовой геометрии утверждение о том, что две параллельные прямые не пересекаются, заложено в самом определении параллельных прямых. 2

Один из способов доказательства: предположим, что прямые пересекаются. 3 Обозначим точку их пересечения буквой H. 3 Тогда через точку H, не принадлежащую прямой c, проходят параллельные ей две прямые — a и b. 3 Это противоречит теореме о параллельных прямых. 3 Значит, предположение неверно, и прямые a и b не пересекаются. 3

Однако есть и другие геометрии, например, геометрия Лобачевского, в которой параллельные прямые могут пересекаться. 12 Кроме того, в геометрии Римана непересекающихся прямых не существует, и понятие параллельности в ней не имеет смысла. 1