В рамках теории множеств Цермело–Френкеля множество описывается с помощью аксиом, которые являются утверждениями, допускаемыми как истины без доказательств. 2 Каждая аксиома — правило, которое определяет, как себя ведут множества. 2

Некоторые способы описания множеств в этой теории:

• Аксиома экстенсиональности. 2 Утверждает, что два множества равны, если они имеют одни и те же элементы. 2 Например, множества A = {1, 2, 3} и B = {3, 1, 2} — это одно и то же множество, потому что у них одни и те же элементы, хотя их порядок различен. 2
• Аксиома пустого множества. 2 Принимает существование множества без элементов, которое называется пустым множеством и обозначается {} или ∅. 2
• Аксиома замены. 2 Позволяет строить множество, заменяя каждый элемент первоначального множества другим множеством для любого множества и определённой операции. 2
• Аксиома регулярности (также называемая базой). 2 Гарантирует, что каждое множество является хорошо основанным, означает, что ни одно множество не может содержать себя в качестве члена, прямо или косвенно. 2
• Аксиома выбора. 2 Утверждает, что для любого непустого множества существует функция выбора, которая выбирает точно один элемент из каждого множества. 2

В теории множеств Цермело–Френкеля элементами любого множества могут быть только множества, а такие объекты, как натуральные числа, точки прямой и т. д., рассматриваются как множества специального вида. 1