Как метод разделяющих переменных используется для решения дифференциальных уравнений?

Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных переменных величин, причём одни из них являются функциями других. 23

Общая схема решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: 1

1. Разделить переменные. 1 Для этого нужно обе части уравнения умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входила только одна переменная, а в другую — только другая переменная. 1 Если в уравнении присутствует y′, то сначала следует заменить y′ на dy, dx, а затем произвести разделение переменных. 1
2. Проинтегрировать обе части полученного уравнения с разделёнными переменными. 1
3. Рассмотреть вопрос о существовании решений, которые обращают выражение, полученное на первом этапе, в нуль. 1
4. Найти частное решение, если дополнительно к уравнению задано начальное условие. 1

Метод разделения переменных применяется для решения краевых задач для линейных уравнений второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов, а также для некоторых классов нелинейных уравнений и уравнений высших порядков. 23