Метод Ньютона-Рафсона применяется для решения уравнений следующим образом: 1

1. Выбирается начальное приближение, система приводится к нормальному виду, в аналитическом виде находятся частные производные левых частей уравнений системы по всем переменным. 1
2. Рассчитывается матрица Якоби значений частных производных в точке начального приближения. 1
3. Решается система линейных уравнений относительно приращений переменных. 1
4. К вектору начального приближения прибавляется вектор приращений. 1
5. Проверяется условие сходимости, и, если оно не достигнуто, то процедура повторяется с пункта 2. 1

Математической основой метода является линеаризация функций (левых частей уравнений, образующих систему) путём разложения в ряд Тейлора в окрестности точки начального приближения к решению и пренебрежением всеми членами ряда, кроме линейных относительно приращений переменных. 1

Чаще всего метод Ньютона-Рафсона используется для аппроксимации корней вещественнозначных функций. 2