Метод Ньютона помогает находить приближённые решения уравнений любой сложности, включая уравнения с трансцендентными выражениями (тригонометрическими функциями, логарифмами). 12

Алгоритм метода: 1

1. Задать начальное приближение решения. 1
2. Вычислить значение функции и её производной в заданной точке. 1
3. Построить касательную к графику функции в точке. 1 Она будет аппроксимировать график функции в окрестности точки. 1
4. Найти пересечение касательной с осью абсцисс. 1 Это и будет новое приближение решения. 1
5. Повторять шаги 2–4 с использованием нового приближения вместо начального, пока не будет достигнута заданная точность. 1

Метод Ньютона обладает квадратичной скоростью сходимости: с каждым следующим шагом число верных значащих разрядов увеличивается примерно в соотношении 1:2:4:8 и т. д.. 2

Однако метод не гарантирует нахождение корня уравнения и может сходиться к ложному корню. 1 Также он может сходиться медленно или не сходиться вообще, если начальное приближение выбрано неправильно или функция имеет особенности в окрестности точки. 1