Метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации путём нахождения нуля первой производной либо градиента в случае многомерного пространства. 2

В основе метода лежит использование информации как о первой, так и о второй производных функции. 1 Первая производная (градиент) указывает на направление, в котором функция изменяется сильнее всего, что используется для нахождения точек минимума или максимума. 1

Вторая производная (гессиан) описывает кривизну поверхности функции. 1 Гессиан содержит информацию о том, насколько сильно меняется градиент в каждой точке, и позволяет скорректировать шаг оптимизации с учётом этого изменения. 1

Алгоритм метода Ньютона включает следующие этапы: 1

1. Выбор начальной точки. 1 Близость к экстремуму ускоряет сходимость. 1
2. Вычисление производных. 1 Градиент определяет направление наибольшего изменения функции, а гессиан — матрицу кривизны функции. 1
3. Обновление точки. 1 Формула корректирует шаг с учётом кривизны функции. 1
4. Проверка условия остановки. 1 Например, если градиент близок к нулю или наблюдается малое изменение функции между итерациями. 1
5. Повторение. 1 Если условие не выполнено, нужно повторить с новой точки. 1

Для эффективного применения метода Ньютона требуется вычисление гессиана — матрицы вторых производных, что может быть вычислительно дорого и сложно в задачах с большими размерами. 1 Также метод чувствителен к начальной точке: при неудачном выборе начальной точки или на невыпуклых функциях возможна плохая сходимость или даже расходимость. 1