Как метод математической индукции помогает доказывать делимость чисел на 6?

Метод математической индукции помогает доказывать делимость чисел на 6, доказывая, что утверждение верно для всех натуральных чисел. math.stackexchange.com

Например, можно доказать, что для любого натурального n число n³ + 5n делится на 6. www.chem-astu.ru

Доказательство: www.chem-astu.ru

1. База индукции. www.chem-astu.ru При n = 1 число n³ + 5n = 6 делится на 6. www.chem-astu.ru
2. Предположение. www.chem-astu.ru Допустим, что для некоторого k число k³ + 5k делится на 6. www.chem-astu.ru
3. Доказательство. www.chem-astu.ru Нужно показать, что тогда и (k + 1)³ + 5(k + 1) делится на 6. www.chem-astu.ru
4. Преобразования. www.chem-astu.ru (k + 1)³ + 5(k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 + 5k + 5 = (k³ + 5k) + (3k² + 3k) + 6 = (k³ + 5k) + 3k(k + 1) + 6. www.chem-astu.ru
5. Анализ. www.chem-astu.ru Первое слагаемое в этой сумме делится на 6 по предположению, второе слагаемое тоже делится на 6, так как из чисел k, k + 1 одно обязательно чётно. www.chem-astu.ru
6. Вывод. www.chem-astu.ru Значит, вся сумма делится на 6, что и требовалось доказать. www.chem-astu.ru