Как метод Ляпунова применяется для анализа устойчивости движения?

Метод Ляпунова — один из способов исследования устойчивости движения, предложенный А. М. Ляпуновым в 1892 году. continuum-journal.ru bigenc.ru Есть два основных метода: bigenc.ru

1. Первый метод. bigenc.ru Основан на изучении возмущённого движения. bigenc.ru Суть метода — в отыскании решений дифференциальных уравнений возмущённого движения, их оценке или использовании некоторых характеристик этих решений. bigenc.ru Для использования первого метода необходимо предположить, что исследуемое решение известно. continuum-journal.ru Этот метод применим лишь к ограниченному классу важных случаев. continuum-journal.ru
2. Второй (прямой) метод. bigenc.ru Также называется методом функций Ляпунова. bigenc.ru Не требует нахождения каких-либо решений уравнений возмущённого движения. bigenc.ru Суть метода — в построении некоторых специальным образом вводимых функций, удовлетворяющих определённым условиям. bigenc.ru Этот метод является более общим и мощным, для его применения не нужно знать самих решений. continuum-journal.ru

Центральным вопросом теории Ляпунова является устойчивость точек равновесия. continuum-journal.ru Точка равновесия устойчива, если все решения, начинающиеся вблизи этой точки, остаются в её окрестности. continuum-journal.ru В противном случае эта точка неустойчива. continuum-journal.ru

Методы Ляпунова используются в теории оптимального управления, теории нелинейных колебаний и других областях науки и техники. bigenc.ru Например, в середине XX века именно методы Ляпунова позволили полностью разрешить проблему устойчивости движения искусственных спутников Земли. proza.ru