При касании окружности и треугольника углы треугольника могут измениться. 1 Например, если окружность, вписанная в треугольник, точками касания делится на дуги, то углы треугольника можно вычислить, исходя из того, что сумма углов четырехугольника равна 360°. 1

Также есть пример, когда при касании окружности и равнобедренного треугольника, если касательные к окружности проведены под прямым углом, то угол треугольника, образованный касательной, будет равен разности прямого угла и угла при основании. 2

Ещё известно, что если в треугольник вписана окружность, то углы при точках касания окружности со сторонами равны. 3 Это следует из того, что прямоугольные треугольники, образованные радиусами вписанной окружности и точками касания, равны по катету и гипотенузе, а значит, углы при соответствующих элементах равны. 3