Лобачевский опроверг пятый постулат Евклида о параллельных линиях, используя принцип «от противного». 4

Пятый постулат Евклида гласит, что в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. 13 Лобачевский попробовал заменить этот постулат на его противоположность: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её». 13

Ученый ждал, что после этого во всей системе геометрических теорем появятся внутренние противоречия, которые укажут на истинность изначальной версии пятого постулата. 3 Но такого не случилось — противоречий не нашлось. 3

На основе этого предположения Лобачевский построил новую геометрию, которую назвал неевклидовой. 2 В ней говорится не о параллельных прямых, а о существовании нескольких непересекающихся прямых на одной плоскости. 5