Чтобы математически доказать совершенность натурального числа, можно воспользоваться следующими подходами:

1. Рассмотреть сигма-функцию. 1 Она равна сумме всех положительных делителей натурального числа n. 1 Например, σ(3) = 1 + 3 = 4, а σ(4) = 1 + 2 + 4 = 7. 1 Эта функция обладает полезным свойством: она мультипликативна, то есть σ(ab) = σ(a)σ(b). 1 Равенство выполняется для любых двух взаимно простых натуральных чисел a и b (взаимно простыми называются числа, у которых нет общих делителей). 1 При помощи сигма-функции доказательство совершенности числа N = 2n–1(2n – 1) сводится к проверке того, что σ(N) = 2N. 1
2. Опираться только на определение совершенного числа. 1 Нужно выписать все делители числа и найти их сумму. 1 Должно получиться это же число. 1

Также существует теорема Евклида о совершенных числах, которая связывает совершенные числа с простыми числами Мерсенна. 2 В ней говорится, что чётное число является совершенным тогда и только тогда, когда оно может быть выражено в форме 2(p−1)(2p − 1), где 2p-1 — простое число. 2