Курт Гёдель доказал свою теорему о неполноте, придумав способ привести произвольное математическое выражение к простой арифметике. 3 Затем он сформулировал противоречие, показав, что в рамках формальной системы возможно сформулировать такое выражение, которое в рамках той же системы будет недоказуемо. 3

В своей формулировке теоремы о неполноте Гёдель использовал понятие ω-непротиворечивой формальной системы — более сильное условие, чем просто непротиворечивость. 4 В процессе доказательства теоремы строится такая формула A арифметической формальной системы S, что: 4

• Если формальная система S непротиворечива, то формула A невыводима в S. 4
• Если система S ω-непротиворечива, то формула ¬A невыводима в S. 4

Таким образом, если система S ω-непротиворечива, то она неполна и A служит примером неразрешимой формулы. 4