Чтобы исследовать поведение функции на отрезке и найти её максимальное значение, можно использовать алгоритм с применением производной: 3

1. Найти область определения функции (ОДЗ) и проверить, входит ли в неё заданный отрезок. 45
2. Найти производную функции. 34
3. Приравнять производную к нулю и найти точки, в которых она обращается в нуль (решить уравнение). 4
4. Найти промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определить промежутки возрастания и убывания функции. 3 Если производная функции больше нуля, то функция возрастает, если меньше — убывает. 3
5. Найти точки максимума функции. 3 В точке максимума производная меняет знак с «+» на «–». 3
6. Найти значение функции в концах отрезка, затем сравнить значение функции на концах отрезка и в точках максимума, и выбрать из них наибольшее. 3

Ещё один способ — рассмотреть график функции. 4 Если заданный интервал представлен прямой, то при возрастающей функции наибольшее значение функции будет соответствовать наибольшему значению аргумента, а при убывающей — наименьшему. 4 Если интервал представлен кривой, то максимальное значение функции выглядит как вершина горы или возвышенности. 4

Важно учитывать, что не всегда возможно определить максимальное значение функции на заданном отрезке. 5 Это невозможно, когда границы заданного промежутка совпадают с границами области определения или если имеет место интервал без конца. 5 Также если функция в заданном отрезке или на бесконечности принимает бесконечно малые или бесконечно большие значения, то определить максимальное значение также нельзя. 5